Homogeneous coordinate

computer vision을 공부하면 제일 먼저 만나는 건, 역시나 pinhole camera 모델이다.

그 pinhole camera 모델을 공부하려면 이제 homogeneous coordinate로 시작하게 된다.

하지만 생각보다 정의가 명확하지 않아, 공부를 시작하다보면 여기서 좀 막히는 경향이 있다...

(그러려니 라고 생각하면 별 문제는 없다.)

Homogeneous coordinate

https://en.wikipedia.org/wiki/Homogeneous_coordinates

Homogeneous coordinates - Wikipedia

 

Homogeneous coordinate는 projective geometry에 사용되는 좌표계이다.

In mathematics, homogeneous coordinates or projective coordinates, introduced by August Ferdinand Möbius in his 1827 work Der barycentrische Calcul,[1][2][3] are a system of coordinates used in projective geometry, just as Cartesian coordinates are used in Euclidean geometry. 

 

(x,y)에 1을 추가해서 (x,y,1)을 만들면 homogeneous coordinate라고 되어있는 글이 많은데... 반은 맞고 반은 틀린듯하다.

• Any point in the projective plane is represented by a triple (X, Y, Z), called homogeneous coordinates or projective coordinates of the point, where X, Y and Z are not all 0.
• The point represented by a given set of homogeneous coordinates is unchanged if the coordinates are multiplied by a common factor.
• Conversely, two sets of homogeneous coordinates represent the same point if and only if one is obtained from the other by multiplying all the coordinates by the same non-zero constant.
• When Z is not 0 the point represented is the point (X/Z, Y/Z) in the Euclidean plane.
• When Z is 0 the point represented is a point at infinity.

 

위의 내용을 나름 이해해보면, 원점으로부터 공간상의 x,y,z를 지나는 직선을 정의하면,  이 선 위에 있는 모든 점들은 homogeneous coordinates라고 할 수 있다. 이 점들은 projective plane위에 동일한 점으로 projection 되게 된다. (그래서 homogeneous coordinate, 한글로는 동차 좌표 라고 부른다. 즉, projection해보면 동일한 점 의 집합)

homogeneous coordinate란, 동일한 점으로 projection되는 점들의 집합이다.

실질적으로, 공간상의 점 (x,y,z)에 대해서 무한히 많은 homogeneous coordinate (λx, λy, λz)들이 발생하지만, 이 중 computer vision에 중요한 점은 위에 표현된 (fx/z, fy/z, f) 와 (x/z, y/z, 1) 이다.

 

pinhole camera model

공간상의 점 x,y,z는 카메라의 image plane으로 projection 된다.

이때의 좌표는 (fx/z, fy/z, f)가 된다. 여기서 f는 카메라의 초점거리가 된다. (distortion이 있다면 여기서 벗어나게 되지만..) (https://courses.cs.duke.edu//fall16/compsci527/notes/camera-model.pdf)

이렇게 pin hole(원점)을 기준으로 image plane에 projection 되는 카메라 모델이 바로 pinhole 카메라 모델이다.

 

 

Homogeneous coordinate for affine transformation

affine transformation이란, 선형 변환의 한 종류로, image 상의 point들을 변환할때 사용하게 된다. 이러한 변환은 translation을 포함하게 되며, 이를 수학적으로 표현하기 위해 homogeneous coordinate 중, (x/z, y/z, 1)를 사용하게 된다.

 

Homogeneous coordinate는 computer graphics와 3D computer vision에서 transformations을 matrix로 쉽게 표현하도록 해준다. (다시 말하면, 연산을 쉽게 표현하게 하는 의미이다.)

Homogeneous coordinates have a range of applications, including computer graphics and 3D computer vision, where they allow affine transformations and, in general, projective transformations to be easily represented by a matrix.

 

여기까지 공부한 바를 정리하자면

1. homogeneous coordinate

: 어떤 point (x,y,z)의 상수배 로 표현되는 점들의 집합 = 원점을 지나는 동일 직선에 존재하는 점들의 집합.

2. homogeneous coordinate 세트는 projective plane으로 projection 하면 모두 동일한 점이 된다.

3. pinhole camera model에서 공간상의 (x,y,z)가 image plane상의 (fx/z, fy/z,f)로 projection된다.

4. homogeneous coordinate 중 (x/z, y/z, 1)은 transformation을 쉽게 표현하기 위해 활용된다.

 

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나와 같은 의문을 가진 사람의 포스팅을 발견하여 추가한다.

여기서도 마찬가지.. homogeneous coordinate의 수학적 정의와 개발자들이 흔히 쓰는 [x,y,1] 사이의 정의의 차이에 대해 의문을 던진다.

해당 포스팅에서 말하듯, 1로 표현된 (z로 나누어진) homogeneous coordinate는 normalized form이라고 따로 부르는 것이 맞는것 같다.

http://deltaorange.com/2012/03/08/the-truth-behind-homogenous-coordinates/

The Truth Behind Homogeneous Coordinates